高考数学数列专题热点指导

2021-02-08 高考数学

  1. 已知数列{xn},{yn}满足x1=x2=1,y1=y2=2,并且

  -=λ-,-λ-(λ为非零参数,n=2,3,4,…)

  (Ⅰ)若x1,x3,x5成等比数列,求参数λ的值;

  (Ⅱ)当λ>0时,证明--(n∈N*);

  当λ>1时,证明-+-+…+-<-(n∈N*)

  解(Ⅰ)n=2 -=λ-→x3=λ;n=3 -=λ-→x4=λ3

  n=4 -=λ-→x5=λ6

  ∵x1,x3,x5成等比

  ∴x32=x1·x5→λ2=λ6,λ≠0

  ∴λ=±1

  (Ⅱ)-=λ-=λ2-=…=λn-1-,∴-=λn-1

  y1=y2=2>0,λ>0→yn>0

  -λ-λ2-…λn-1-

  ∴-λn-1→--

  ∴--

  (Ⅲ)由已知 x1=x2=1,y1=y2=2,y3λy2,x3=λx2 又λ>1,∴y3>x3

  进一步易推得 yn>xn

  -=-,yn+1-xn+1λn-1yn-λn-1xn=λn-1(yn-xn)>0

  ∴--,(n2)

  -+-+…+-1+-+…+-<-=-

  注:第(Ⅱ)问是用逐次代入法解决等量与不等量递推。

  (三)综合题与应用题

  综合题主要是数列与函数,数列与不等式的综合.数列部分的应用题是以“增长率”为基础加以变化.

  1. 已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,其导函数为f‘(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图像上。

  (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

  (Ⅱ)设bn=-,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn<-对所有n∈N*都成立的最小正整数m。

  解(Ⅰ)∵f(x)的图像经过坐标原点

  ∴f(0)=c=0

  又f‘(x)=2ax+b=6x-2

  ∴a=3,b=-2

  ∴f(x)=3x2-2x

  Sn=f(n)=3n2-2n, a1=S1=1

  Sn-1=3(n-1)2-3(n-1)

  an=Sn-Sn-1=6n-5,n2

  a1=1也满足上式

  ∴an=6n-5,(n=1,2,…)

  (Ⅱ)bn=-=-[---]

  Tn=-(1--)<-

  m>10--

  g(n)=10--,n↑,g(n)↑

  -g(n)=10 ∴m=10

  注:本题是函数与数列综合,第(Ⅱ)问要有极限思想。

  2. 已知An(an,bn)(n∈N*)是曲线y=ex上的`点,a1=a,Sn是数列{an}的前n项和,且满足Sn2=3n2an+Sn-12,an≠0,n=2,3,4,…

  (Ⅰ)证明:数列{-}(n2)是常数列;

  (Ⅱ)确定a的取值集合M,使a∈M时,数列{an}是单调递增数列;

  (Ⅲ)证明:当a∈M时, 弦AnAn+1(n∈N*)的斜率随n单调递增。

  解:(Ⅰ)Sn2-S2n-1=3n2gan,

  (Sn+Sn-1)gan=3n2gan,n2,an≠0

  ∴Sn+Sn-1=3n2

  Sn+1+Sn=3(n+1)2

  两式相减:Sn+1-Sn-1=6n+3

  ∴an+1+an=6n+3

  an+2+an+1=6n+9

  又两式相减an+2-an=6,n2

  -=-=-=e6。得证

  分析(2)由Sn+Sn-1=3n2

  n=2:S2+S1=12→a2=12-2a

  由an+1+an=6n+3

  n=2:a3=3+2a

  n=3:a4=18-2a

  a2,a4,…,a2k是以a2为首项,公差为6的等差递增数列。

  a3,a5,…,a2k-1是以a3为首项,公差为6的等差递增数列。

  若{an}为递增数列,应有a1

  证明(3)kn=-,kn+1=-

  分析:{an}↑,{-}↑,要证{kn}↑

  注意到,{an}不是以6为公差的等差递增数列,用比较法kn+1-kn在计算中显然行不通。过去是“量”的转换,现在把数列转换成函数,用函数单调性解决数列的单调性。

  设函数f(x)=-

  f‘(x)=-,需证f‘(x)>0,可推出f(x)↑

  又设g(x)=ex(x-x0)-(ex--)

  g‘(x)=ex(x-x0)

  xx0

  g‘(x)>0,g(x)↑,

  ∴x=x0是g(x)唯一极小值点。

  ∴g(x)>g(x0)=0,即g(x)>0

  ∴f‘(x)>0,f(x)↑

  单调区间(-∞,x0)∪(x0,+∞)

  上面是把数列转化为函数,下面还要把函数转化为数列。

  令x0=an,an

  ∴-<-

  再令x0=an+2,an

  ->-

  ∴kn

  注:数列也是函数,用处理函数的思路,与方法也适用于数列,关键是抓住“转化”的转折点。

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