高考数学复习基本不等式及其应用测试及答案

2021-02-16 高考数学

  导学目标: 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

  (3)若x,∈(0,+∞)且2x+8-x=0,求x+的最小值.

  变式迁移2 已知x>0,>0,z>0.

  变式迁移3 (2011广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.

  一、选择题(每小题5分,共25分)

  学案36 基本不等式及其应用

  自主梳理

  1.(1)a>0,b>0 (2)a=b 2.(1)2ab (2)2 (4)≤

  3.a+b2 ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4.(1)x= 小 2p (2)x= 大 p24

  自我检测

  1.A 2.A 3

  4.大 -22-1 5.[15,+∞)

  课堂活动区

  例1  解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化,使用基本不等式求最值时,给定的形式不一定能直接适合基本不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式),构造出基本不等式的形式再进行求解.基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”,“三相等”就是必须验证等号成立的条件.

  解 (1)∵x>0,>0,1x+9=1,

  ∴x+=(x+)1x+9

  =x+9x+10≥6+10=16.

  当且仅当x=9x时,上式等号成立,又1x+9=1,

  ∴x=4,=12时,(x+)in=16.

  (2)∵x<54,∴5-4x>0.

  =4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3

  ≤-2 5-4x15-4x+3=1,

  当且仅当5-4x=15-4x,

  即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ax=1.

  (3)由2x+8-x=0,得2x+8=x,

  ∴2+8x=1.

  ∴x+=(x+)8x+2=10+8x+2x

  =10+24x+x

  ≥10+2×2× 4xx=18,

  当且仅当4x=x,即x=2时取等号.

  又2x+8-x=0,∴x=12,=6.

  ∴当x=12,=6时,x+取最小值18.

  变式迁移1 C [∵a+b=2,∴a+b2=1.

  ∴1a+4b=(1a+4b)(a+b2)=52+(2ab+b2a)≥52+22abb2a=92(当且仅当2ab=b2a,即b=2a时,“=”成立),故=1a+4b的最小值为92.]

  例2  解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到,也会给解决问题提供简捷的方法.

  在不等式证明时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转化是否有误的.一种方法.

  证明 方法一 因为a>0,b>0,a+b=1,

  所以1+1a=1+a+ba=2+ba.

  同理1+1b=2+ab.

  所以(1+1a)(1+1b)=(2+ba)(2+ab)

  =5+2(ba+ab)≥5+4=9.

  所以(1+1a)(1+1b)≥9(当且仅当a=b=12时等号成立).

  方法二 (1+1a)(1+1b)=1+1a+1b+1ab

  =1+a+bab+1ab=1+2ab,

  因为a,b为正数,a+b=1,

  所以ab≤(a+b2)2=14,于是1ab≥4,2ab≥8,

  因此(1+1a)(1+1b)≥1+8=9(当且仅当a=b=12时等号成立).

  变式迁移2 证明 ∵x>0,>0,z>0,

  ∴x+zx≥2zx>0,

  x+z≥2xz>0,

  xz+z≥2xz>0.

  ∴x+zxx+zxz+z

  ≥8zxzxxz=8.

  当且仅当x==z时等号成立.

  所以(x+zx)(x+z)(xz+z)≥8.

  例3  解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为:

  由题设写出函数→变形转化→利用基本不等式→求得最值→结论

  2.在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点:(1)先理解题意,设变量,一般把要求最值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数最值问题;(3)在定义域内求函数最值;(4)正确写出答案.

  解 (1)依题意得

  =(560+48x)+2 160×10 0002 000x

  =560+48x+10 800x (x≥10,x∈N*).

  (2)∵x>0,∴48x+10 800x

  ≥248×10 800=1 440,

  当且仅当48x=10 800x,即x=15时取到“=”,

  此时,平均综合费用的最小值为560+1 440=2 000(元).

  答 当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2 000元.

  变式迁移3 解 (1)由题意可设3-x=t+1,

  将t=0,x=1代入,得=2.∴x=3-2t+1.

  当年生产x万件时,

  ∵年生产成本=年生产费用+固定费用,

  ∴年生产成本为32x+3=323-2t+1+3.

  当销售x(万件)时,年销售收入为

  150%323-2t+1+3+12t.

  由题意,生产x万件化妆品正好销完,由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,得年利润=-t2+98t+352t+1 (t≥0).

  (2)=-t2+98t+352t+1=50-t+12+32t+1

  ≤50-2t+12×32t+1=50-216=42(万元),

  当且仅当t+12=32t+1,即t=7时,ax=42,

  ∴当促销费投入7万元时,企业的年利润最大.

  课后练习区

  1.B [因为3a3b=3,所以a+b=1,

  1a+1b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab

  ≥2+2baab=4,当且仅当ba=ab即a=b=12时,“=”成立.]

  2.B [不等式(x+)1x+a≥9对任意正实数x,恒成立,则1+a+x+ax≥a+2a+1≥9,

  ∴a≥2或a≤-4(舍去).

  ∴正实数a的最小值为4.]

  3.C [因为1a+1b+2ab≥21ab+2ab

  =21ab+ab≥4,当且仅当1a=1b且 1ab=ab,

  即a=b=1时,取“=”号.]

  4.B [第一列货车到达B市的时间为400a h,由于两列货车的间距不得小于a202 ,所以第17列货车到达时间为400a+16a202a=400a+16a400≥8,当且仅当400a=16a400,即a=100 /h时成立,所以最快需要8 h.]

  5.A

  6.18

  解析 由x>0,>0,2x++6=x,得

  x≥22x+6(当且仅当2x=时,取“=”),

  即(x)2-22x-6≥0,

  ∴(x-32)(x+2)≥0.

  又∵x>0,∴x≥32,即x≥18.

  故x的最小值为18.

  7.4

  解析 过原点的直线与f(x)=2x交于P、Q两点,则直线的斜率>0,设直线方程为=x,由=x,=2x,得x=2,=2或x=-2,=-2,

  ∴P(2,2),Q(-2,-2)或P(-2,-2),Q(2,2).

  ∴|PQ|=2+22+2+22

  =22+1≥4.

  8.(-∞,22-1)

  解析 由f(x)>0得32x-(+1)3x+2>0,解得+1<3x+23x,而3x+23x≥22,∴+1<22,<22-1.

  9.解 (1)∵0<x<43,∴0<3x<4.

  ∴x(4-3x)=13(3x)(4-3x)≤133x+4-3x22=43,(4分)

  当且仅当3x=4-3x,即x=23时,“=”成立.

  ∴当x=23时,x(4-3x)的最大值为43.(6分)

  (2)已知点(x,)在直线x+2=3上移动,∴x+2=3.

  ∴2x+4≥22x4=22x+2=223=42.

  (10分)

  当且仅当2x=4,x+2=3,即x=32,=34时,“=”成立.

  ∴当x=32,=34时,2x+4的最小值为42.

  (12分)

  10.解 (1)=920vv2+3v+1 600=920v+1 600v+3≤

  9202v×1 600v+3=92083≈11.08.(4分)

  当v=1 600v,即v=40千米/小时时,车流量最大,最大值为11.08千辆/小时(6分)

  (2)据题意有920vv2+3v+1 600≥10,(8分)

  化简得v2-89v+1 600≤0,即(v-25)(v-64)≤0,

  所以25≤v≤64.

  所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内.

  (12分)

  11.解 (1)每次购买原材料后,当天用掉的400千克原材料不需要保管费,第二天用掉的400千克原材料需保管1天,第三天用掉的400千克原材料需保管2天,第四天用掉的400千克原材料需保管3天,…,第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x-1)天.

  ∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用

  1=400×0.03×[1+2+3+…+(x-1)]

  =6x2-6x.(6分)

  (2)由(1)可知,购买一次原材料的总费用为6x2-6x+600+1.5×400x,

  ∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为

  =1x(6x2-6x+600)+1.5×400=600x+6x+594.(9分)

  ∴≥2600x6x+594=714,(12分)

  当且仅当600x=6x,即x=10时,取等号.

  ∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最小,且最小为714元.(14分)

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