《函数的概念》课后练习及答案解析

2021-02-14 课后答案

  1.下列说法中正确的为( )

  A.y=f(x)与y=f(t)表示同一个函数

  B.y=f(x)与y=f(x+1)不可能是同一函数

  C.f(x)=1与f(x)=x0表示同一函数

  D.定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数

  解析:选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关,判断两个函数是否相同,主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同.

  2.下列函数完全相同的是( )

  A.f(x)=x,g(x)=(x)2

  B.f(x)=x,g(x)=x2

  C.f(x)=x,g(x)=x2x

  D.f(x)=x2-9x-3,g(x)=x+3

  解析:选B.A、C、D的定义域均不同.

  3.函数y=1-x+x的定义域是( )

  A.{xx≤1}    B.{xx≥0}

  C.{xx≥1或x≤0} D.{x0≤x≤1}

  解析:选D.由1-x≥0x≥0,得0≤x≤1.

  4.图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x,y的对应关系,其中表示y是x的函数关系的有________.

  解析:由函数定义可知,任意作一条直线x=a,则与函数的图象至多有一个交点,对于本题而言,当-1≤a≤1时,直线x=a与函数的图象仅有一个交点,当a>1或a<-1时,直线x=a与函数的图象没有交点.从而表示y是x的函数关系的有(2)(3).

  答案:(2)(3)

  1.函数y=1x的定义域是( )

  A.R B.{0}

  C.{xx∈R,且x≠0} D.{xx≠1}

  解析:选C.要使1x有意义,必有x≠0,即y=1x的定义域为{xx∈R,且x≠0}.

  2.下列式子中不能表示函数y=f(x)的是( )

  A.x=y2+1 B.y=2x2+1

  C.x-2y=6 D.x=y

  解析:选A.一个x对应的y值不唯一.

  3.下列说法正确的是( )

  A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应

  B.函数的定义域和值域可以是空集

  C.函数的定义域和值域一定是数集

  D.函数的定义域和值域确定后,函数的对应关系也就确定了

  解析:选C.根据从集合A到集合B函数的定义可知,强调A中元素的任意性和B中对应元素的唯一性,所以A中的多个元素可以对应B中的同一个元素,从而选项A错误;同样由函数定义可知,A、B集合都是非空数集,故选项B错误;选项C正确;对于选项D,可以举例说明,如定义域、值域均为A={0,1}的函数,对应关系可以是x→x,x∈A,可以是x→x,x∈A,还可以是x→x2,x∈A.

  4.下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )

  A.A={-1 高中历史,0,1},B={0,1},f:A中的数平方

  B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方

  C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数

  D.A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值

  解析:选A.按照函数定义,选项B中集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的`函数值的条件;选项C中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D中,集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A符合函数定义.

  5.下列各组函数表示相等函数的是( )

  A.y=x2-3x-3与y=x+3(x≠3)

  B.y=x2-1与y=x-1

  C.y=x0(x≠0)与y=1(x≠0)

  D.y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z

  解析:选C.A、B与D对应法则都不同.

  6.设f:x→x2是集合A到集合B的函数,如果B={1,2},则A∩B一定是( )

  A. B.或{1}

  C.{1} D.或{2}

  解析:选B.由f:x→x2是集合A到集合B的函数,如果B={1,2},则A={-1,1,-2,2}或A={-1,1,-2}或A={-1,1,2}或A={-1,2,-2}或A={1,-2,2}或A={-1,-2}或A={-1,2}或A={1,2}或A={1,-2}.所以A∩B=或{1}.

  7.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是________.

  解析:由题意3a-1>a,则a>12.

  答案:(12,+∞)

  8.函数y=x+103-2x的定义域是________.

  解析:要使函数有意义,

  需满足x+1≠03-2x>0,即x<32且x≠-1.

  答案:(-∞,-1)∪(-1,32)

  9.函数y=x2-2的定义域是{-1,0,1,2},则其值域是________.

  解析:当x取-1,0,1,2时,

  y=-1,-2,-1,2,

  故函数值域为{-1,-2,2}.

  答案:{-1,-2,2}

  10.求下列函数的定义域:

  (1)y=-x2x2-3x-2;(2)y=34x+83x-2.

  解:(1)要使y=-x2x2-3x-2有意义,则必须

  -x≥0,2x2-3x-2≠0,解得x≤0且x≠-12,

  故所求函数的定义域为{xx≤0,且x≠-12}.

  (2)要使y=34x+83x-2有意义,则必须3x-2>0,即x>23, 故所求函数的定义域为{xx>23}.

  11.已知f(x)=11+x(x∈R且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).

  (1)求f(2),g(2)的值;

  (2)求f(g(2))的值.

  解:(1)∵f(x)=11+x,

  ∴f(2)=11+2=13,

  又∵g(x)=x2+2,

  ∴g(2)=22+2=6.

  (2)由(1)知g(2)=6,

  ∴f(g(2))=f(6)=11+6=17.

  12.已知函数y=ax+1(a<0且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围.

  解:函数y=ax+1(a<0且a为常数).

  ∵ax+1≥0,a<0,∴x≤-1a,

  即函数的定义域为(-∞,-1a].

  ∵函数在区间(-∞,1]上有意义,

  ∴(-∞,1](-∞,-1a],

  ∴-1a≥1,而a<0,∴-1≤a<0.

  即a的取值范围是[-1,0).

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